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Traitement des données (Latchoumanin), TD n°3 : 

 

 

Exercice 1 :

Voici emprunté à un questionnaire d'attitude à l'égard de la statistique, un item sur le type de présentation préféré pour l'enseignement de cette discipline :

Etes-vous d'accord avec la proposition ci-dessous ? Choisissez la réponse qui vous convient le mieux :
"Je souhaite que l'on insiste davantage sur les principes fondamentaux que sur les techniques immédiatement applicables"

a) Tout à fait d'accord
b) Largement d'accord
c) Plutôt d'accord
d) Plutôt en désaccord
e) Largement en désaccord
f) Totalement en désaccord

1. Etablir le protocole
2. Etablir la distribution sous forme de tableau et sous forme graphique
3. Calculer la fréquence de choix de chaque modalité de réponse
4. Calculer, si cela est possible, la médiane et la moyenne.

Voici ce qu'il faut faire :

1. ,2. et 3.

N = 100

M a b c d e f
n 8 12 20 13 17 30
f .08 .12 .20 .13 .17 .30

Répartition des effectifs en fonction de leur réponse

4. C'est une variable nominale, il n'y a donc pas de moyenne ni médiane.
    6 modalité existent et f est le plus grand mode, c'est le plus choisi.

Exercice 2 :

L'animateur d'un stage de loisirs réunit les stagiaires à leur arrivée le dimanche soir et leur demande d'inscrire sur un papier l'activité que chacun d'eux veut pratiquer le lendemain matin. Il ont le choix entre 4 activités : Tennis (T), Plongée (P), Voile (V) et Yoga (Y).

n° sujet 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Activité T P V V Y T T V Y Y T V
n° sujet 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Activité V Y T V Y V V Y V T P P
n° sujet 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Activité V T V V V Y T V V V V T
n° sujet 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
Activité T T V V V T P V T V V V
n° sujet 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Activité Y V V T V P V Y P V V T

A partir du protocole ci-dessus qui présente les données recueillies, établir la distribution des sujets en fonction du type de loisirs sous forme de tableau à simple entrée.
Calculer le fréquence de choix de chaque activité et représenter graphiquement les résultats.

Voici ce qu'il faut faire :

Variable nominale à 4 modalités :

Pour calculer les fréquence n'oublions pas que c'est nx/ntot
exemple ici : 15/ 60 = .25 ou 6/60 = .10

Modes T P V Y Total
n 15 6 30 9 60
f .25 .10 .50 .15 1

Exercice 3 :

A partir de la suite d'observations ci-dessous
1. Représenter la distribution d'effectifs sous forme de tableau, sans groupement, et calculer la médiane.
2. Représenter la distribution d'effectifs sous forme de tableau en prenant un intervalle i = 3. La représenter graphiquement
3. Calculer la moyenne et l'écart-type (2 décimales) de la distribution sans groupement.

38 29 32 33 36 28 25 37 42 53 21
24 26 47 23 30 41 30 34 38 38 41
29 32 21 27 31 26 31 35 33 42 35
34 35 18 28 34 45 32 36 33 39 43
 

Voici ce qu'il faut faire :

1.
N = 44 (4 lignes * 11 colonnes de valeurs voir ci-dessus)

x 18 21 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
n 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 1 3 1
nc 1 3 4 5 6 8 9 11 13 15 17 20 23 26 29 31 32 35 36
nx 18 42 23 24 25 52 27 56 58 60 62 96 99 102 105 72 37 114 39
x2 324 882 529 576 625 1352 729 1568 1682 1800 1922 3072 3267 3468 3675 2592 1369 4332 1521
 
x 41 42 43 45 47 53 Sommes
n 2 2 1 1 1 1
nc 38 40 41 42 43 44
nx 82 84 43 45 47 53 Snx =   1465 
x2 3362 3528 1849 2025 2209 2809 Sx2 = 51067

Rappels :

- Pour la ligne des nc c'est l'effectif cumulé, on l'obtient en additionnant au fur et à mesure les effectifs (n).

- Pour la ligne des nx, on l'obtient en multipliant la ligne des x par la ligne des n :              nx = x X n.

- Pour la ligne des x2, on l'obtient en multipliant la ligne des x par la ligne des x et des n : x2 = x * x * n
  donc en résumé la ligne des x au carré multiplié par la ligne des n :                                x2 =  x 2 * n

Revenons à l'exercice :

Pour avoir la médiane, il faut déjà avoir le rang médian :
Rang Médian = (N + 1) / 2 = (44+1)/2 = 22.5
Il n'y a pas de nc = 22.5 donc on prend celui juste au-dessus : 23, Rang Médian = 23.
Donc au nc = 23 (rang médian) sur la même colonne la valeur x correspondante de la même colonne est 33

Médiane = 33

2. i = 3

x 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
n 1 0 0 2 0 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 1 3 1 0 2 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1
Vc 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52
n 1 3 4 5 7 9 6 3 3 2 0 1

Le truc est de mettre toutes les valeurs x sans interruption dans l'ordre donc même celles qui n'était pas donnée dans le premier tableau.

Ensuite on groupe les valeurs x par trois 18,19,20 - 21,22,23 - 24,25,26 - ... et on leur attribue leur effectifs n correspondant pour les valeurs x qui n'étaient pas marqué dans le premier tableau, leurs effectifs n = 0
(J'ai utilisé un code couleur dans le tableau pour plus de compréhension)

Vc est la valeur centrale donc celle représentative avec un intervalle i = 3, les premières valeurs sont 18,19,20
et la Vc est 19 car Vc = (Vextrêmes)/2, les valeurs extrêmes dans ce cas étant 18 et 20.
Vc = (18+20)/2 = 19
(Vc représentante la moyenne des autres valeurs)

Donc pour les valeurs suivantes 21,22,23 : Vc = (21+23)/2 = 22.

On notera que l'intervalle est de 3 et donc la Vc augmentera donc toujours de 3 à chaque fois : 19 - 22 - 25 - ...

Comme les valeurs sont regroupés dans les Vc (valeurs centrales), on regroupe également leurs effectifs.
Il suffira alors d'additionner les effectifs correspondant aux valeurs de la Vc
Dans le premier cas ici
Les valeurs sont 18,19,20 avec comme effectifs réciproques 1,0,0
Si on fait l'addition des effectifs réciproques 1 + 0 + 0 = 1.
Nous obtenons donc désormais l'effectif correspondant à la Vc pour Vc = 19, n = 1.

Pour le graphique, nous utiliserons maintenant les Vc avec leur effectifs correspondants.
Le graphique sera d'autant plus facile à réaliser que l'intervalle sera grand.

3.

Moyenne = Snx / N
Snx =   1465 
N = 44

Moy = 1465 / 44 = 33.29

Moy = 33.29

Ecart-type : 

Je ne détaille pas
Sx2 = 51067
Snx =   1465
N = 44

Je ne détaille pas même s'il faudrait le faire en 5 étapes minimum, prendre exemple avec le TD 2

s = 7.30

Pour ne pas se tromper, il faut aussi penser que l'écart type est inférieur à l'étendue.