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Traitement des données (Latchoumanin), TD n°2 : 

le 05/03/03

 

Loi Normale : Laplace - Gauss

Quand une grandeur subit l'influence d'un grand nombre de facteurs de variations, on observe que les valeurs de cette grandeur se distribue suivant une loi dite loi de  LAPLACE-GAUSS ou loi Normale qui a un grand caractère de généralités.

Pour la culture de blé sur 500 parcelles toutes égales chacune de 10 ha, on constate que le poids en grain varie de manière importance d'un champ à l'autre.

Explication : De nombreux facteurs de variations sont venus exercés leur influence sur le rendement.

ex : origine de la semence, constitution, fertilité, température des parcelles, pluviométrie, la différence de mauvaises herbes, d'engrais.

La dispersion des valeurs cette variable continue qui représente le poids du blé obtenu par parcelle prend une allure générale de telle sorte que l'on observe une accumulation de résultats au voisinage immédiat de la moyenne puis ceux-ci se distribuent symétriquement avec une fréquence qui baisse rapidement à mesure qu'on s'éloigne de la valeur centrale.

La dispersion des valeurs est plus grande en A qu'en B.

Ex : Courbe de taille à Maurice, pointure des chaussures, les résultats d'une population à un test de QI.

Une propriété de la loi Normale est qu'elle est entièrement déterminée par la moyenne et son écart type. Donc si on tire au hasard une observation dans un ensemble obéissant à la loi Normale, il y a une probabilité voisine de 68% pour qu'elle ne s'écarte pas de la moyenne dans un sens ou dans l'autre de plus d'une fois l'écart type.

- 68% de plus d'1 fois l'écart type
- 95% de plus de 2 fois l'écart type
- 99.8 % de plus de 3 fois l'écart type

Pour une population dont la distribution obéit à la loi Normale : Moy = 20 et s = 3

Les limites pour 95 % de la population sont de 2 s et donc les valeurs sont 14 et 26.

Limite de l'intervalle I = 68% moy = 30 s = 5

Les limites pour 68 % de la population sont de 1 s (un écart type) et donc les valeurs sont 25 et 35.

 

Exercice : score à un devoir de mathématiques :

 7 ; 7 ; 9 ; 11 ; 14 ; 15 ; 17 ; 19 ; 13 ; 7 ; 11 ; 11 ; 14 ; 15 ; 15 ; 17 ; 14 ; 15 ; 14 ; 15 ; 17 ; 15 ==> N = 22

Tableau de répartition

(Ici dans le tableau on peut tout de suite repérer le mode.)

1. Indices de tendance centrale

1.1 Mode

Mode = 15

1.2 Médiane (on fait dans le tableau la ligne des nc)

Rang médian =  (N+1)/2    (N = 22)           A.N. : (22+1)/2 = 11.5

Médiane = 14

1.3 Moyenne (on fait dans le tableau la ligne des nx)

Sn x = 292                                                                                 Moy = 292 / 22 = 13.27

Moy = 13.27

2. Indices de dispersion

2.1 Etendue

Et = 19 - 7 = 12

Et = 12

2.2 Ecart interquartile (EQ)

Rang du QI = N / 4 = 22 / 4 = 5.5                           QI = 11
Rang du QS = 3N / 4 = 3 X 22 / 4 = 16.5               QS = 15

EQ = QS - QI = 15 - 11 = 4

EQ = 4

2.3 Ecart type (on fait dans le tableau la ligne des x2)

 

                 

       

 

s = 3.42

 

Quel moyen de locomotion les étudiants utilise pour venir à l'université :

- Auto : A
- Bus : B
- Vélo : V
- Pied : P

A, A, B, V, P, A, V, V, A, A, B, P, P, P, V, A, A, A, A, A, A, P, B, B, V, A, A, V, B, B, B, A, A, V, A, A, B, V, P, A, A

A : 18
B : 9
V : 7
P : 6
 

M* A B V P
n 18 9 7 6


M* : mode de déplacement

Conclusion : Le mode de déplacement le plus utilisée est l'automobile

Tableau 1 :